Kapitel Tilgungsrechnung

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Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z.B. einer Bank) an einen Schuldner (z.B. Bankkunden, Unternehmen) ausgeliehener Geldbetrag S (Schuld, Darlehen, Kredit).

Wenn der Geldbetrag (ggf. zusammen mit allen angefallenen Zinsen) nicht in einer Summe am Ende der vereinbarten Kreditlaufzeit, sondern in regelmäßigen Beträgen (Annuitäten) zurückgezahlt (getilgt) werden soll, so stellt sich die Frage nach dem in den einzelnen Annuitäten A_k enthaltenen Rückzahlungsbetrag (Tilgungsanteil T_k) und Zinsbetrag (Z_k), dem Schuldenstand nach einer vorgegebenen Laufzeit (S_k), oder nach dem in einem Rückzahlungsplan verwendeten Zinssatz i bzw. p. Da die Frage nach der korrekten Angabe und Berechnung aller Teile eines Kreditvertrages gesetzlich geregelt ist, wird dieser gesetzlichen Regelung ein eigener Abschnitt gewidmet.

Begriffe und Symbole der Tilgungsrechnung

Grundsätzlich sind folgende Arten der Tilgungsrechnung möglich:

  • Die erfolgen am Anfang eines Zinszeitraumes (vorschüssig), am Ende eines Zinszeitraumes (nachschüssig) oder während des Zinszeitraumes in mehreren Tilgungsperioden pro Zinszeitraum.
  • Die rechnerischen Tilgungsanteile T_k sind unregelmäßig, konstant oder regelmäßig (steigend).
  • Die Zinsberechnung erfolgt jährlich oder unterjährig, vorschüssig oder nachschüssig.
  • Die Laufzeit in Tilgungsperioden ist ganzzahlig oder nicht ganzzahlig.
  • Am Ende der Laufzeit ist die Schuld vollständig getilgt oder es besteht noch eine Restschuld in vereinbarter Höhe.
  • Die Zinsen sind während der Laufzeit konstant, oder sie sind nur für einen Teil der Laufzeit festgelegt.

Um die Fallunterscheidungen der unterjährigen Verzinsung zu vermeiden, wird zunächst nur der Fall der jährlich nachschüssigen Verzinsung zu konstantem Zinssatz (p% bzw. i) mit ganzzahliger Laufzeit behandelt. Auch werden die Fälle, dass die Auszahlung eines Kredits nicht zum Beginn eines Zinszeitraumes und die Rückzahlung nicht am Ende eines Zinszeitraumes erfolgt, auf später verschoben.

nLaufzeit des Kredits in Jahren
T_kTilgungsrate am Ende des Jahres k, (k =1,\ldots,n)
Z_kZinszahlung für Jahr k (nachschüssig),(k =1,\ldots,n)
A_k = T_k + Z_k,Annuität für Jahr k ,(k =1,\ldots,n)
RS_kSchuldenstand zu Beginn des Jahres k,(k =1,\ldots,n+1)
S_kSchuldenstand am Ende Jahres k, (k =1,\ldots,n)

Tabelle: Begriffe und Symbole der Tilgungsrechnung

Die Bezeichnungen aus dem Kapitel Zinsrechnung gelten weiter. Die zusätzlichen Bezeichnungen der Tilgungsrechnung sind in der vorstehenden Tabelle zusammengestellt. Weiter gelten die folgenden Zusammenhänge:

Der Schuldenstand zu Beginn des ersten Jahres stimmt mit den Betrag der Schuld S überein: 
RS_1 = S

Am Ende des Jahres n ist die Schuld getilgt und es fallen keine weiteren Zahlungen mehr an: 
S_n = RS_{n+1} = 0

Die Restschuld verringert sich um die jeweiligen Tilgungszahlungen und somit um die Differenz aus Annuität und Zinszahlungen: 
RS_k = S - (T_1+\ldots +T_{k-1})
	 = S - (A_1-Z_1) -\ldots - (A_{k-1}-Z_{k-1})

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Darstellung von Restschuld RS_k, Zins Z_k, Tilgung T_k und Annuität A_k für jede Tilgungsperiode k:

\vdots</td></tr>
k RS_k Z_k T_k A_k S_k
1 S S\cdot i T_1 T_1+Z_1 S-T_1
2 S-T_1 (S-T_1)\cdot iT_2 T_2+Z_2 S-T_2-T_1
\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots
n T_n T_n\cdot iT_n T_n+Z_n 0
n+1 0

Eine Annuität A_k, die bereits zum Beginn der Zinsperiode bezahlt wird, kann analog zu der Herleitung einer konformen Ersatzrente in eine konforme, jährlich nachschüssige Ersatzannuität umgerechnet werden. Man erhält 
A'_k = q\cdot A_k
und damit sämtliche nachfolgend hergeleiteten Formeln. Auf eine spezielle Berechnung von jährlich vorschüssigen Annuitäten kann deshalb verzichtet werden. Wie aus der Tabelle zu erkennen ist, liegen die jährlichen Zinszahlungen Z_k durch Angabe von p bzw. i und Festsetzung einer Restschuld fest, die wiederum aus der Schuld S abzüglich der Tilgungszahlungen berechnet wird. Eine der beiden Größen A_k und T_k ist jedoch prinzipiell frei wählbar. (Wird allerdings T_k < 0 gewählt, so ergibt sich eine Erhöhung der Schuld und keine Rückzahlung, so dass T_k >0 der Regelfall sein dürfte). Ohne eine Festlegung der Annuität oder der Tilgung ergeben sich regellose Zahlungsströme, die in allgemeiner Form im Kapitel Äquivalenzprinzip behandelt wurden. Die Festlegung eines Zins- oder Tilgungsanteils an der Annuität wäre in diesem Fall allerdings willkürlich.

Jährliche Ratentilgung

Im Fall der Ratentilgung werden alle Tilgungsraten als gleich hoch angegeben, also


T_1 = T_2 = \ldots = T_n = T,
wobei \sum_{k=1}^n T_k = S gelten muss, damit RS_{n+1} = 0 gewährleistet ist. Es wird also die Forderung aufgestellt: 
T_k = T = \frac{S}{n}\quad\mbox{f.}\quad k = 1,\ldots,n

Mit dieser Festlegung ist bei jährlich nachschüssiger Zahlung und Angabe von S und p ein Tilgungsplan gegeben.


Beispiel

Eine Summe von EUR 36.000 wird zu Jahresbeginn zu 10% ausgeliehen. Sie soll in 3 Jahren durch nachschüssige Ratentilgung zurückbezahlt werden. Wie lautet der Tilgungsplan?


Lösung: S = 36.000; p = 10; n=3; T = \frac{S}{3} = 12.000

k RS_k Z_k T_k A_k S_k
1 36.000 3.600 12.000 15.600 24.000
2 24.000 2.400 12.000 14.400 12.000
3 12.000 1.200 12.000 13.200 0
4 0

Die Spalte der Tilgungszahlungen T_k ist hier nur der Vollständigkeit halber angegeben. Sie kann ebenso wie die Zeile für n+1 und eine der Spalten S_k oder RS_k weggelassen werden, da stets S_k = RS_{k+1} gilt, und stets RS_{n+1} = 0 gelten muss.

Wenn die Berechnung eines Tilgungsplans direkt und nicht schrittweise erfolgen soll, dann kann man natürlich die einzelnen Formeln einfach herleiten. Es gilt: 
  T_k  = \frac{S}{n}


  Z_k  = RS_k\cdot i

Die Schuld am Ende bzw. die Restschuld am Anfang einer Tilgungsperiode sind über die Tilgungszahlung der Periode verbunden: 
  RS_k = S\cdot \left(1 - \frac{k-1}{n}\right)
        = T\cdot (n-k+1)


  S_k  = RS_k - T = S\cdot \left(1 - \frac{k}{n}\right)
        = T\cdot (n-k)

Durch die Festlegung der Tilgungsraten ergibt sich die Annuität als 
  A_k = \frac{S}{n} + \frac{S}{n}\cdot (n-k+1) \cdot i
      = \frac{S}{n} \cdot \left[1 + (n-k+1)\cdot i\right]
und damit als eine monoton fallende Zahlenfolge.

Bemerkung

Die gesamte Zinsbelastung der Ratentilgung ist 
Z = \sum_{k=1}^n Z_k
  = i\cdot \sum_{k=1}^n RS_k
  = i\cdot \frac{n\cdot(n+1)}{2}\cdot T
  = i\cdot S\cdot \frac{n+1}{2}
im Gegensatz zu der bei Ratenkrediten errechneten Belastung i\cdot S (siehe Kapitel Zinsrechnung).

Übung 30

Eine Schuld von EUR 120.000 soll bei einer jährlichen Verzinsung von 9,5 % in 6 Jahren durch jährlich gleich hohe Tilgungsraten getilgt werden.

  1. Erstellen Sie den Tilgungsplan.
  2. Wie ändern sich die Annuitäten A_5 und A_6 im Vergleich zu a), wenn im 5. und 6. Jahr der Zins 10,5 % beträgt?

Jährliche Annuitätentilgung

Wie in Beispiel zu sehen ist, wird der Schuldner durch die Zahlung A_k in den ersten Tilgungsperioden besonders hoch belastet. Diese Belastung fällt durch die immer geringere Restschuld ständig. Am Anfang der Laufzeit kann die Zahlungshöhe für den Schuldner unerträglich sein. Bei der Annuitätentilgung wird deshalb vereinbart, dass nicht die Tilgungsraten, sondern die Annuitäten und damit die Belastung für den Schuldner in jeder Tilgungsperiode gleich hoch sein sollen.

Datei:Annuitätentilgung

Wir unterscheiden exakte Annuitäten und Prozentannuitäten.

Fall 1: Exakte Annuitätentilgung

Die Annuität ist konstant A_1 = A_2 = \ldots = A_n = A.

Die Bestimmung der Annuität A entspricht genau der Berechnung einer jährlich nachschüssigen Rentenzahlung konstanter Höhe A aus einem Rentenbarwert S, wobei die Laufzeit der Rente n beträgt.

Aus der Formel der Rentenrechnung ergibt sich somit 
A = \frac{S}{a_n} = S\cdot \frac{q^n (q-1)}{q^n - 1}

Für den Fall der exakten Annuitätentilgung können wir damit auf die Formeln der Rentenrechnung mit konstanter Rente (vorschüssig oder nachschüssig) zurückgreifen. Anders als bei der Rentenrechnung stellen sich hier allerdings die Fragen nach der Schuld zu Beginn des Zeitraumes k (RS_k) und den Zins- und Tilgungsbeträgen für das Jahr k.

Die Restschuld RS_k ergibt sich aus der bis zum Zeitpunkt k auf S\cdot q^{k-1} angewachsenen Ausgangsschuld S abzüglich dem Endwert der in den Zeiträumen bis k-1 bezahlten Tilgungsbeträge oder als Zeitwert der ab Jahr k noch zu zahlenden Beträge, bezogen auf das Jahr k.

Es gilt also 
RS_k = S\cdot q^{k-1} - A\cdot s_{k-1}
     = RS_{k-1} - A + Z_{k-1}
	 = q\cdot RS_{k-1} - A
oder 
RS_k = A \cdot a_{n-k+1} =  S\cdot \frac{q^n (q - 1)}{q^n - 1} \cdot \frac{q^{n-k+1} - 1}{q^{n-k+1}\cdot (q-1)} =   S\cdot \frac{q^n - q^{k-1}}{q^n-1}

Die Zinsbelastung in jeder Annuität errechnet man als Differenz aus Annuität und Tilgung oder direkt aus der Restschuld zu Beginn der Periode k:

Z_k = i\cdot RS_k = A - T_k = A \cdot \left(1 - \frac{1}{q^{n-k+1}}\right)

Aus der obigen Darstellung ist der Zinsbetrag für Jahr k in Abhängigkeit der Annuität A angegeben. Wie zu sehen ist, fällt der Zinsanteil an der Annuität für wachsendes k, und zwar genau um den Teil, der durch die letzte Tilgungszahlung erspart worden ist. Der Tilgungsanteil steigt demnach mit wachsendem k, da sich die konstante Annuität bekanntlich aus Zins und Tilgung zusammensetzt: 
T_k = A - Z_k = A \cdot\frac{1}{q^{n-k+1}}
    = S\cdot \frac{q^{k-1}\cdot(q-1)}{q^n - 1}

Für den in anderem Zusammenhang wichtigen ersten Tilgungsbetrag, die sogenannte Anfangstilgung T_1, ergibt sich 
T_1 = S\cdot \frac{q-1}{q^n -1}
und in der Formel für T_k kann jeder Tilgungsbetrag aus der Anfangstilgung T_1 errechnet werden. 
T_k = T_1 \cdot q^{k-1}

Dies kann auch für die Zinsbeträge durchgeführt werden. Somit erhält man 
Z_k = A - T_1 \cdot q^{k-1}

Bemerkung

Damit ergibt sich zusätzlich zu den oben bereits hergeleiteten Darstellungen für die Restschuld RS_k:


RS_k = S - (T_1 + T_2 + \ldots + T_{k-1}) = S - T_1 \cdot (1 + q + \ldots + q^{k-2}) = S - T_1\cdot s_{k-1}


Beispiel

Eine Summe von EUR 36.000 wird zu Jahresbeginn zu 10% ausgeliehen. Sie soll in 3 Jahren durch nachschüssige Annuitätentilgung mit exakten Annuitäten zurückbezahlt werden. Wie lautet der Tilgungsplan?


Lösung: S = 36.000, p = 10, n=3

T_1 = 36.000 \cdot \frac{0,1}{1,1^3 - 1}
	 = 36.000 \cdot \frac{0,1}{0,331} = 10.876,13

k RS_k Z_k T_k A_k
1 36.000,- 3.600,- 10.876,13 14.476,13
2 25.123,87 2.512,39 11.963,74 14.476,13
3 13.160,13 1.316,01 13.160,12 14.476,13
4      0,01

Bemerkung

Obwohl der Tilgungsplan auf den Cent genau berechnet wurde, kommt es manchmal zu einem kleinen Rundungsfehler, der üblicherweise bei Zahlung der letzten Annuität ausgeglichen wird. Es gilt hier also z.B. A_3 = 14.476,14 \not= A

Fall 2: Prozentannuitäten

Bei unserem letzten Beispiel im vorigen Abschnitt kam es zu krummen Beträgen bei der Annuität und einem Annuitätenbetrag A_n, der nicht mehr gleich der exakt errechneten Annuität A war.

Da es in der Praxis sehr oft zu krummen Beträgen bei der Annuität kommen würde, versucht man diese zu vermeiden, indem die abgeschwächte Forderung 
A_1 = A_2 = \ldots = A_{n-1} = A;\quad A_n \leq A
aufgestellt wird. Der Betrag A_n bildet nun eine Schlußzahlung, die nicht mehr gleich den Annuitäten sein muss. Der Begriff der Prozentannuität kommt daher, dass man die Annuität meist in Prozent der Schuldsumme S ausdrückt. Da die Schuldsumme sehr oft ein Vielfaches von hundert oder tausend EUR ist, kommt man auf diese Weise zu einer ganzzahligen Annuität.

Statt der Laufzeit n wird dann die Annuität A in der Form 
A = (i + i')\cdot S
vorgegeben. Dabei bezeichnet i den Nominalzinssatz des Kredites und i' den Tilgungssatz. Der Wert 
p' = 100\cdot i' = 100\cdot \frac{T_1}{S}
heißt Tilgungsprozentsatz. Damit eine Tilgung der Schuld S erfolgen kann, muss der Tilgungsprozentsatz p' > 0 sein, d.h. A > i\cdot S. Die Formulierung eines derartigen Kreditangebotes lautet dann:

Zitat: Tilgungsvereinbarung

Die Tilgung beträgt p'% zuzüglich ersparter Zinsen.}

Damit gelten folgende Zusammenhänge:

A_n = RS_n \cdot q

T_k  = T_1\cdot q^{k-1} = i'\cdot S\cdot q^{k-1} \mbox{f.}\quad k=1,\ldots,n-1

Z_k  = A - T_k = (i+i')\cdot S - i'\cdot S \cdot q^{k-1}\mbox{f.}\quad k=1,\ldots,n-1

Die Restschuld läßt sich aus der Schuldsumme und den Tilgungsbeträgen errechnen, die wiederum als Prozentsatz der Schuldsumme angegeben sind: 
RS_k = S\cdot q^{k-1} - A\cdot s_{k-1} = S - T_1\cdot s_{k-1}= S \cdot
\left[1 - \frac{i'}{i}\left(q^{k-1} - 1\right)\right] \mbox{f.}\quad k=1,\ldots,n


Beispiel

Im obigen Beispiel mit S = 36.000 und p=10 wird ein Tilgungsprozentsatz von p' = 30 angesetzt. Die Laufzeit wird nicht angegeben.


Lösung:

k RS_k Z_k T_k A_k
1 36.000 3.600 10.800 14.400
2 25.200 2.520 11.880 14.400
3 13.320 1.332 13.068 14.400
4 252 25,20 252 277,20

Bemerkung

  1. Vielfach erscheint es nicht vernünftig, eine geringe Restzahlung erst ein Jahr nach der letzten vollen Annuität zu leisten. Die Restschuld RS_{n+1} wird deshalb oft mit der letzten Annuität getilgt, also kann im Beispiel der Betrag A_{n-1} = 14.400 + 252 = 14.652 am Ende des dritten Jahres bezahlt werden.
  2. Da nun ein Tilgungsprozentsatz und keine Laufzeit der Tilgung vorgegeben wird, muss diese errechnet werden. Wenn ein Tilgungsplan erstellt wird, fällt sie automatisch an. Will man n bestimmen, ohne den Tilgungsplan berechnen zu müssen, so erfolgt dies über die Bedingung RS_{k+1} = 0. Der Wert x ist so zu bestimmen, dass 1 - \frac{i'}{i}\left(q^x - 1\right) = 0 gilt. Man erhält den Zusammenhang 
\left(q^x - 1\right) = \frac{i}{i'}
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
q^x  = \frac{i+i'}{i'}

und als Auflösung dieses Zusammenhanges nach x

x  = \frac{\ln (i + i') - \ln i'}{\ln (1 + i)} =  \frac{\ln A - \ln T_1}{\ln q}

ergibt sich die näherungsweise Laufzeit.

Die Laufzeit n ist die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist.


Beispiel

In unserem Beispiel ist 
x = \frac{\ln 0,4 - \ln 0,3}{\ln 1,1}
  \hat= \frac{\ln 14.400 - \ln 10.800}{\ln 1,1}
  = 3,018 \quad\Rightarrow\quad n=4

Übung 31

Ein Darlehen von EUR 240.000 soll bei 9 % Zins p.a. durch gleiche jährlich nachschüssige Annuitäten von EUR 26.400 getilgt werden (plus einer Abschlußzahlung im letzten Jahr).

  1. Wie hoch ist die erste Tilgungsrate?
  2. Wie viele Jahre dauert die Tilgung?
  3. Erstellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 4 Jahre.
  4. Wie hoch ist die Restschuld zu Beginn des 10. bzw. zu Beginn des 20. Jahres?
  5. Wie hoch ist die Abschlußzahlung, wenn sie ein Jahr nach Zahlung der letzten vollen Annuität geleistet wird?

Unterjährige Annuitätentilgung

Bisher wurden nur Tilgungen betrachtet, bei denen die Zeitpunkte der Annuitätenzahlung und der Zinszahlung zusammenfielen, d.h. eine Annuität konnte in einen Zinsanteil und einen Tilgungsanteil zerlegt werden.

Nun betrachten wir die Fälle, in denen pro Zinszeitraum mehrere Annuitäten bezahlt werden. Vereinfacht wird angenommen, dass sich der Zinszeitraum, beispielsweise das Kalenderjahr, in m\in \{2,3,4,\ldots\} Tilgungszeiträume gleicher Länge zerlegen läßt. Wir wählen weiter zunächst die Vereinfachung, dass der Zinszeitraum mit dem Kalenderjahr übereinstimmt. Damit sind wichtige Fälle für die Anzahl der Tilgungsperioden pro Jahr die halbjährliche (m=2), vierteljährliche (m=4) und monatliche (m=12) Tilgung.

Datei:Unterjährige nachschüssige Annuität

Eine weitere Unterscheidung in der Berechnung ergibt die Frage, welcher Zeitpunkt als Beginn einer Tilgungsrechnung zugelassen ist. Wir entwickeln die Formeln unter der Prämisse, dass die Auszahlung der Schuld zu Beginn einer Zinsperiode, d.h. hier des Kalenderjahres erfolgt. Diese Rechnungsweise hat eine gewisse Berechtigung, wie im Abschnitt Preisangabenverordnung noch zu besprechen sein wird. Weitere Fälle, dass der Starttermin ein beliebiger Zeitpunkt oder der Beginn einer Tilgungsperiode sein können, sind hieraus ohne Schwierigkeiten herzuleiten.

Es gelten nun abweichend zur jährlichen Tilgung die Bezeichnungen aus der Tabelle.

T_{{\rm l},k} Tilgungsrate der Periode {\rm l} im Jahr k, ({\rm l} =1,\ldots,m), (k =1,\ldots,n)
A_{{\rm l},k} Annuität für die Periode {\rm l} in Jahr k, ({\rm l} =1,\ldots,m), (k =1,\ldots,n)
Z_k Zinszahlung für Jahr k (nachschüssig), (k =1,\ldots,n)
RS_{{\rm l},k} Schuldenstand zu Beginn der Periode {\rm l} in Jahr k, ({\rm l} =1,\ldots,m), (k =1,\ldots,n)

Tabelle 1: Begriffe und Symbole der unterjährigen Tilgung

Da wir uns bei der unterjährigen Tilgung auf den Fall der meist verwendeten Annuitätentilgung beschränken, sind alle Annuitäten A_{{\rm l},k} (evtl. mit Ausnahme der letzten) konstant = a.

Bei der unterjährigen Annuitätentilgung werden pro Zinsperiode m Annuitäten gezahlt. Die Zinsbelastung erfolgt jedoch nur am Ende der Zinsperiode, also mit der Annuität A_{m,k}. Alle anderen Annuitäten bestehen damit vollständig aus Tilgungszahlungen. Es gilt deshalb: 
T_{{\rm l},k} = 
             \begin{cases}
              a      & \mbox{ f. } {\rm l} = 1,\ldots,m-1  \\
              a-Z_k  & \mbox{ f. } {\rm l} = m
             \end{cases}

Während des Zinszeitraums nimmt also die Restschuld mit jeder Tilgung genau um a ab. Die Fallunterscheidung ist deshalb auch für die Restschuld RS_{{\rm l},k} erforderlich: 
RS_{{\rm l},k} = RS_{1,k}-\left(T_{1,k}+\ldots+T_{{\rm l}-1,k}\right) = RS_{1,k} - ({\rm l}-1)\cdot a  \mbox{ f. }\quad {\rm l}=2,\ldots,m; k=1,\ldots,n


RS_{1,k+1} = RS_{1,k} - \left(T_{1,k}+\ldots+T_{m,k}\right) =  RS_{1,k} - ma + Z_k

Bezüglich des Zeitpunktes der Anrechnung von Tilgungen auf die Restschuld und damit der Zinsberechnung bei unterjährigen Zahlungen gibt es drei Methoden:

Fall a)
Unterjährige Tilgungen werden sofort von der Restschuld abgezogen und die geringere Restschuld wird taggenau (mit einfacher Verzinsung) verzinst (sofortige Tilgungsverrechnung).
Fall b)
Unterjährige Tilgungen fließen auf ein unverzinsliches Tilgungskonto und obwohl die Tilgung geleistet wurde, werden die Zinsen weiterhin aus der Restschuld zu Beginn der Zinsperiode berechnet (jährliche Tilgungsverrechnung). Daraus folgt bei sonst gleichen Bedingungen eine höhere Zinszahlung für jede Zinsperiode.
Fall c)
Unterjährige Tilgungen fließen auf ein mit Zinssatz \tilde p verzinsliches Tilgungskonto, die sogenannte Tilgungsrücklage. Zu vorgegebenen Zeitpunkten wird der angesammelte Betrag dem Kreditkonto gutgeschrieben.

Eine besonders krasse Form von Fall b), nämlich monatliche Tilgungszahlungen m=12 bei jährlicher Verrechnung (Zinsperiode), ist durch ein Gerichtsurteil in einem Einzelfall untersagt worden. Dies hat zu einer Umstellung in der Vertragsgestaltung der Kreditinstitute geführt. Mit anderen Parametern ist Fall b) jedoch weiterhin möglich. Der Fall c) liegt zwischen den Fällen a) und b). Deshalb wird die Behandlung unterjähriger Annuitäten in Fall a) und b) aufgeteilt.

Sofortige Tilgungsverrechnung

Bei der sofortigen Tilgungsverrechnung verringert sich die zu verzinsende Restschuld mit jeder der m-1 Tilgungsleistungen T_1,\ldots,T_{m-1}. Wir bezeichnen den rechnerischen Zinsanteil für RS_{{\rm l},k} mit Z_{{\rm l},k}.

Wenn die m unterjährigen Zahlungen am Ende der jeweiligen Tilgungsperioden geleistet werden, so gilt


Z_k = \sum_{{\rm l} = 1}^m Z_{{\rm l},k}
     =  \sum_{{\rm l} = 1}^m \frac{i}{m} \cdot RS_{{\rm l},k}
     =  \frac{i}{m} \sum_{{\rm l} = 1}^m \left[RS_{1,k}-({\rm l}-1)\cdot a\right]          
     = \frac{i}{m} \left(m\cdot RS_{1,k} - \frac{a(m-1)m}{2}\right)

und damit als konformer Jahreszins:


Z_k = i\cdot RS_{1,k} - \frac{a\cdot i (m-1)}{2}

Die Zinszahlung erfolgt am Ende der Zinsperiode. Für die jährliche Rechnung haben wir damit die benötigte Größe ermittelt, um die Restschuld zu Beginn der nächsten Zinsperiode berechnen zu können. Es folgt: 
RS_{1,k+1} = RS_{1,k} - A_k + Z_k = RS_{1,k} - a\cdot\left[m + \frac{i(m-1)}{2}\right] + i \cdot RS_{1,k}


RS_{1,k+1} = q\cdot RS_{1,k} - A


         A = a\cdot \left[m + \frac{i(m-1)}{2}\right]

Dabei ist A die zu den m unterjährig nachschüssigen Annuitäten in Höhe von a konforme Ersatzannuität (vgl. auch Kapitel Rentenrechnung, unterjährige Rentenzahlungen). Entsprechend dieser Herleitung gilt für vorschüssige Tilgungszahlungen: 
RS'_{1,k+1} = q\cdot RS'_{1,k} - A


          A = a\cdot \left[m + \frac{i(m+1)}{2}\right]

Bemerkung

  • Die unterjährigen Annuitäten werden während des Zinszeitraums um jeweils eine Tilgungsperiode früher geleistet als bei nachschüssiger Zahlungsweise. Deshalb verringert sich auch die Zinslast entsprechend um die Zinsen auf diese eine Annuität. Für die im Jahr k zu leistenden Zinsen erhält man bei vorschüssiger Zahlungsweise einer identischen Annuität a


Z'_k = i\cdot RS_{1,k} - \frac{a\cdot i (m+1)}{2} = Z_k - a\cdot i

  • Im Fall c) kann entsprechend eine Ersatzannuität A bestimmt werden, wenn der für die Tilgungsrücklage verwendete Zinssatz \tilde p/100 anstelle von i eingesetzt wird.
Übung 27

Ein Bauherr hat eine Hypothek von EUR 100.000 zu 8 % Jahreszins aufgenommen, die 25 Jahre lang monatlich-vorschüssig durch konstante monatliche Annuitäten, die sofort zur Tilgung verwendet werden, zurückgezahlt werden muss.

  1. Wie hoch ist seine monatliche Belastung?
  2. Wie hoch ist die Restschuld nach 15 Jahren?
Übung 32

Ein Kredit von EUR 10.000 soll bei jährlicher Verzinsung von 9 % in zwei Jahren durch vierteljährlich-nachschüssig zu zahlende konstante Annuitäten zurückgezahlt werden. Bei der Verzinsung sollen die unterjährig gezahlten Tilgungsbeträge berücksichtigt werden.

Geben Sie den Tilgungsplan für das erste Jahr an.

Jährliche Tilgungsverrechnung

Wenn die Tilgungen auf ein unverzinsliches Konto eingezahlt werden, so wird der rechnerische Zins pro Tilgungsperiode stets aus RS_{1,k} errechnet, also 
Z_k = \sum_{{\rm l}=1}^m Z_{{\rm l},k}
    = m\cdot \frac{i}{m} RS_{1,k} = i\cdot RS_{1,k}
sowohl für vorschüssige als auch für nachschüssige Zahlungen. Dadurch entsteht eine im Vergleich zur korrekten Tilgungsverrechnung zu hohe Zinslast für den Schuldner. Der Gläubiger erhält damit (z.B. bei nachschüssigen Annuitäten) ungerechtfertigte Zinszahlungen in Höhe von 
\Delta Z = \frac{a\cdot i (m-1)}{2}

Als Restschuld zum jeweiligen Beginn der Zinsperioden erhalten wir 
RS_{1,k+1} = RS_{1,k} - m\cdot a + i\cdot RS_{1,k}
und damit 
RS_{1,k+1} = q\cdot RS_{1,k} - A                        
mit 
A  = m\cdot a

Für beide Ansätze zeigt ein Vergleich: Die Restschulden RS_{1,k} entwickeln sich genau wie Restschulden RS_k bei jährlich nachschüssiger Annuitätentilgung mit A. Deshalb ist für alle weiteren Berechnungen folgende Vorgehensweise möglich:


Beschreibung:

falls n gegeben

Berechne A = S\cdot  \frac{q^n\cdot (q-1)}{q^n -1}, und hiermit a = \frac{A}{m + \frac{i(m-1)}{2}} bei Ansatz a) nachschüssig

\frac{A}{m + \frac{i(m+1)}{2}} bei Ansatz a) vorschüssig

\frac{A}{m} bei Ansatz b).

Damit ist ein unterjähriger Tilgungsplan mit RS_{{\rm l},k} nach Formel (\ref{restsch0}) sukzessive erstellbar. Alle anderen Werte ergeben sich wie bei jährlicher Tilgung:

falls a gegeben

Voraussetzung dafür, dass die Tilgungsbeträge positiv sind, ist A > i\cdot S, wenn also 
a > \begin{cases}
	\frac{i\cdot S}{m + \frac{i(m-1)}{2}} & \mbox{ bei Ansatz a) nachschuessig}\\
	\frac{i\cdot S}{m + \frac{i(m+1)}{2}} & \mbox{ bei Ansatz a) vorschuessig} \\
	\frac{i\cdot S}{m}                    & \mbox{ bei Ansatz b)}
    \end{cases}

gilt, dann kann ein Tilgungsplan mit endlicher Laufzeit und unterjährigen Tilgungszahlungen sukzessive erstellt werden. Die Berechnung von A ist hier nicht unbedingt notwendig, sie ist aber z.B. dann sinnvoll, wenn für einige Jahre im Tilgungsplan nur die Werte für den Jahresanfang angegeben werden sollen.

____

Bemerkung

Zur Berechnung von n:

Zunächst berechnet man A je nach Fall a) vorschüssig, a) nachschüssig oder b). Damit ermittelt man 
x = \frac{\ln A - \ln (A - iS)}{\ln q}
als Näherungswert für die Laufzeit. Wenn x nicht ganzzahlig ist, so ist die nächste ganze Zahl n \geq x, die Laufzeit des Tilgungsplanes. RS_{1,n-1} ist dann die Restschuld zu Beginn des letzten Tilgungsjahres. Aus der Restschuld läßt sich bei unterjähriger Verzinsung ermitteln, wie viele unterjährige Tilgungsraten in Höhe von a noch erforderlich sind.


Beispiel

Eine Schuld in Höhe von EUR 36.000 soll durch halbjährige Annuitätentilgung bei sofortiger Tilgungsverrechnung getilgt werden. Die Laufzeit soll 3 Jahre bei einem Zinssatz von 10% betragen. Wie hoch sind die

a) nachschüssig bzw.

b) vorschüssig

zu entrichtenden Tilgungsraten? Wie lautet in beiden Fällen der Tilgungsplan?


Lösung:

Bei jährlicher Tilgung würde man nachschüssig eine Annuität 
A = \frac{S}{a_n} = 14.476,13
bezahlen.

  1. Bei nachschüssiger Tilgungsleistung ist

a = \frac{A}{2 + \frac{i(2-1)}{2}}
        = \frac{14.476,13}{2 + \frac{0,1}{2}}
        = 7.061,53
und der jährlich nachschüssig zu entrichtende Zins 
Z_k = 0,1\cdot RS_{1,k} - \frac{a\cdot 0,1}{2}
          = 0,1\cdot RS_{1,k} - 353,08
kann über die jeweilige Restschuld zu Jahresbeginn ermittelt werden.

k {\rm l}RS_{{\rm l},k} Z_k T_k A_k
1 1 36.000,00 7.061,53 7.061,53
2 28.938,47 3.246,92 3.814,61 7.061,532 1 25.123,86 7.061,53 7.061,53
2 18.062,33 2.159,31 4.902,22 7.061,53
3 1 13.160,11 7.061,53 7.061,53
2 6.098,58 962,93 6.098,58 7.061,51
  • Bei halbjährlich vorschüssiger Tilgung ist


a = \frac{A}{2 + \frac{i(2+1)}{2}}
        = \frac{14.476,13}{2 + \frac{3\cdot 0,1}{2}}
        = 6.733,08
und der jährlich nachschüssig errechnete Zins 
Z_k = 0,1\cdot RS_{1,k} - \frac{a\cdot 0,1}{2}
          = 0,1\cdot RS_{1,k} - 1.009,96
hängt ebenfalls nur von der Restschuld zu Beginn des Jahres k ab.

k {\rm l}RS_{{\rm l},k} Z_kT_kA_k
1 136.000,006.733,086.733,08
2 29.266,92 2.590,04 4.143,04 6.733,08
2 1 25.123,88 6.733,08 6.733,08
2 18.390,80 1.502,43 5.230,65 6.733,08
3 1 13.160,15 6.733,08 6.733,08
2 6.427,07 306,06 6.427,07 6.733,13


Beispiel

Die Tilgungsleistungen aus dem Beispiel sollen nun nicht sofort, sondern erst am Jahresende verrechnet werden. Wie lauten Annuität und Tilgungsplan?


Lösung: A = 14.476,13 (siehe oben)


a = \frac{A}{m} = \frac{14.476,13}{2} \approx 7.238,07

k {\rm l} RS_{{\rm l},k} Z_k T_k A_k
1 1 36.000,- 7.238,07 7.238,07
2 28.761,93 3.600,-3.638,07 7.238,07
2 1 25.123,86 7.238,07 7.238,07
2 17.885,79 2.512,39 4.725,68 7.238,07
3 1 13.160,11 7.238,07 7.238,07
2 5.922,04 1.316,01 5.922,04 7.238,05


Beispiel

Ein Darlehen über EUR 80.000, das zu 10% Nominalzins ausgegeben wurde, soll durch Annuitätentilgung zurückbezahlt werden.

  1. Es wurde vereinbart, dass die Tilgungsraten in Höhe von EUR 4.000 jeweils zum 31.3, 30.6., 30.9. und 31.12. zu zahlen sind und sofort auf die Restschuld verrechnet werden.
  2. Die Tilgungsbeträge seien in gleicher Höhe wie unter a) und zu den gleichen Zeitpunkten fällig. Die Tilgungsleistungen werden aber erst am Jahresende angerechnet.

Geben Sie für beide Fälle die Tilgungsbeträge des ersten Jahres, die Laufzeit des Darlehens, sowie den Tilgungsplan des letzten Jahres an.


Lösung:

S = 80.000; p=10; m=4; a=4.000

  1. Die Voraussetzung für eine Tilgung


      4.000 > \frac{0,1\cdot 80.000}{4 + \frac{0,1\cdot 3}{2}}
              = 1.927,71
ist erfüllt.


	  T_{1,1} =  T_{2,1} = T_{3,1} = a = 4.000


T_{4,1} = - Z_1 = 4.000 - \left(8.000 - \frac{4.000\cdot 0,\cdot 3}{2}\right) = -3.400

       
T_1 = 3\cdot 4.000 - 3.400 = 8.600 \qquad (= A - i\cdot S)

       
A =  T_1 + i\cdot S = 8.600 + 8.000 = 16.600

Mit der Annuität und der Anfangstilgung ermittelt man näherungsweise Laufzeit 
x = \frac{\ln 16.600 - \ln 8.600}{\ln 1,1} = 6,9 \qquad \Longrightarrow n = 7

Zu Beginn des 7. Jahres beträgt die Restschuld: 
RS_{1,7} = 80.000 \cdot 1,1^6 - 16.600 \cdot \frac{1,1^6 -1}{0,1} = 13.645,75 .

Damit ergibt sich der Tilgungsplan für das 7. Jahr als

k {\rm l} RS_{{\rm l},k} (Z_{{\rm l},7}) Z_k T_{{\rm l},7} A_{{\rm l},7}
7. 1 13.645,75 (341,14) 4.000,- 4.000,-
2 9.645,75 (241,14) 4.000,- 4.000,-
3 5.645,75 (141,14) 4.000,- 4.000,-
4 1.645,75 (41,14) 764,56 1.645,75 2.410,31

Bemerkung

Statt die Restzahlung von EUR 2.410,31 am 31. Dezember zu leisten, könnte man die Restzahlung Z_{1,7} + Z_{2,7} + Z_{3,7} + RS_{4,7} = 623,42 + 1.645,75 =
2.369,17 am 30.9. leisten. Dieser Betrag ist nicht durch z.B. bürgerliche Diskontierung \frac{2.410,31}{1,025} errechenbar.

  • Auch hier ist die Voraussetzung für eine Tilgung a > \frac{i\cdot S}{m} = \frac{8.000}{4} = 2.000 erfüllt.


T_{1,1} = T_{2,1} = T_{3,1} = a =4.000


T_{4,1} = a - Z_1 = 4.000 - 0,1\cdot 80.000 = -4.000


T_1 = 3\cdot 4.000 - 4.000 = 8.000

Es wird also bei gleichen Zahlungen a pro Jahr um EUR 600 weniger getilgt:


      A = T_1 + i\cdot S = 8.000 + 8.000 = 16.000


	x  = \frac{\ln 16.000 - \ln 8.000}{\ln 1,1} = 7,27254 \qquad \Longrightarrow n = 8


      RS_{1,8} = 80.000\cdot 1,1^7 - 16.000 \cdot \frac{1,1^7 -1}{0,1} = 4.102,63

Bei gleichen Annuitäten dauert die Tilgung jetzt bis in das zweite Quartal des 8. Jahres. Wir müssen deshalb den Tilgungsplan für dieses 8. Jahr berechnen.

k {\rm l} RS_{{\rm l},k} Z_k T_{{\rm l},8} A_{{\rm l},8}
8 1 4.102,63 4.000 4.000
2102,630
3 0 0
4 0410,26 0 410,26

Bemerkung

Streng genommen ist bei jährlicher Tilgungsverrechnung der Tilgungsplan des letzten Jahres auf die obige Weise zu berechnen. Hier wird jedoch besonders krass deutlich, dass für das ganze Jahr der Zins aus der Restschuld von EUR 4.102,63 berechnet wird, obwohl die Schuld schon nach dem 1. Quartal praktisch getilgt ist.

Aus diesem Grunde wird in solchen Fällen die Abschlußzahlung mit der letzten vollen Tilgungsrate oder im nachfolgenden Quartal geleistet. Die Restschuld wird für den unterjährigen Zeitraum einfach verzinst. Es ergeben sich die Abschlußzahlungen

  • am Ende des 1. Quartals

A_{1,8} = 4.102,63 +
                  \frac{0,1\cdot 90}{360}\cdot 4.102,63
                = 4.205,20

  • am Ende des 2. Quartals


A_{2,8} = 102,63 + \frac{0,1\cdot 90}{360}\cdot 4.102,63 
+ \frac{0,1\cdot 90}{360}\cdot 102,63 = 102,63 + 102,57 + 2,57  = 207,77

Die Formel zur Berechnung von Z_k gilt mit diesen Ausnahmen nur so lange, wie volle Annuitäten gezahlt werden können, also hier nicht für Z_8.

Übung 38

Sei S eine zu tilgende Schuld sowie A die jährliche bzw. a die monatliche (konstante) Annuität.

Interpretieren Sie die Bedingungen:

  1. A > i\cdot S
  2. a > \frac{i\cdot S}{(m+i(m-1)/2)} bzw. a > \frac{i\cdot S}{m}

Sonderformen der Tilgungsrechnung

Die Gestaltung der Darlehen ist vielfältig. Einerseits möchte der Darlehensgeber den Anforderungen des Darlehensnehmers (z.B. Bankkunden) möglichst entsprechen. Die Gestaltungsspielräume werden außerdem von den Kreditinstituten genutzt, um bei Krediten einen effektiven Zinssatz zu erzielen, der über den Nominalzinssatz liegt. Beispielsweise erfolgt dies über unterjährige Zinsverrechnungen, d.h. Zinszeiträume, die kürzer sind als ein Jahr. Andererseits sind oft in den Darlehenskonditionen verschiedene Gebühren versteckt, die dem Schuldner zu Beginn oder während der Laufzeit zusätzlich zu den Zinsen belastet werden. Einige wenige dieser Gestaltungsmöglichkeiten sollen nachfolgend angesprochen werden.

Zinsverrechnungen

Die Berechnung von Zinsen in unterjährigen Zinszeiträumen sorgt für eine höhere Jahresbelastung, da die unterjährig bezahlten Zinsen jeweils zu früh von der Tilgung abgezogen werden. Wir gehen von \hat m Zinszeiträumen pro Jahr und m Tilgungsperioden pro Zinszeitraum aus.

Während eines Zinszeitraumes erfolgen Tilgungszahlungen

In sämtlichen Berechnungen dieses Kapitels wurde von jährlichen und unterjährigen Zahlungen und Tilgungsverrechnungen ausgegangen, obwohl die Formeln selbst nicht von der Länge der Zinsperiode abhängen. Wenn man von n Jahren zu der entsprechenden Anzahl von n Zinszeiträumen übergeht, dann gelten alle Formeln mit wenigen Änderungen weiter:

  • Die Laufzeit ist ganzzahlig in Zinsperioden, nicht mehr unbedingt in Jahren.
  • Die m innerhalb einer Zinsperiode gezahlten Annuitäten werden einfach verzinst.
  • Statt mit einem Jahreszinssatz von p% wird mit einem Periodenzinssatz von p_* = \frac{p}{\hat m} gerechnet.

Wie bereits im jährlichen Fall ist eine Unterscheidung in vor- und nachschüssige Annuitäten und in sofortige und unkorrekte Tilgungsverrechnung möglich.

Es erfolgen mehrere Zinsverrechnungen pro Tilgungsperiode

Wir gehen davon aus, dass die Anzahl der Tilgungsperioden pro Jahr m und die Anzahl der Zinsverrechnungen pro Tilgungsperiode \hat m ganzzahlig sind. Wenn ein Zinssatz für die Zinsperiode gegeben ist, dann errechnet man einen zur Tilgungsperiode konformen Periodenzinssatz. Mit diesem Zinssatz können sämtliche Formeln der jährlichen Tilgung (Renten- oder Annuitätentilgung) benutzt werden. Eine Fallunterscheidung bezüglich unterjähriger Renten ist nicht mehr erforderlich.

Tilgungsfreie Zeiten

Bei manchen Darlehen in Höhe von \tilde S findet zu Beginn der Laufzeit für \tilde n Zinsperioden keine Tilgung des Darlehens statt. Danach läuft das Darlehen als Ratenkredit oder Annuitätendarlehen normal noch n Perioden weiter. Die Gesamtlaufzeit beträgt also n_{\rm ges} = \tilde n + n Perioden. Normalerweise erhöht sich die Belastung des Schuldners durch tilgungsfreie Zeiten nicht. Es wird ihm allerdings nach den tilgungsfreien Zeiten eine deutlich ansteigende Belastung zugemutet.

Man unterscheidet zwei Fälle:

Keinerlei Zahlung während der tilgungsfreien Zeit

Wenn bis zum Beginn der Tilgung keinerlei Zahlungen erfolgen, so erhöht sich die Darlehensschuld auf 
\tilde S = S \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{\tilde n}

Das Darlehen läuft dann wie in den obigen Abschnitten besprochen mit der neuen Schuldsumme \tilde S weiter.

Nur die Zinsen werden bezahlt

Wenn die Zinsen während der tilgungsfreien Zeit bezahlt werden, so erhöht sich die Schuldsumme nicht. Alle Formeln der Tilgungsrechnung können in den verbleibenden Perioden unverändert übernommen werden. Die Annuität in den ersten \tilde n Zinsperioden beträgt bei jährlich nachschüssiger Zinszahlung 
A_k = Z_k = S\cdot\frac{p}{100} \qquad {\rm f.}\quad k = 1,\ldots,\tilde n .

Übung 33

Ein westeuropäischer Staat gibt einem afrikanischen Entwicklungsland einen Kredit in Höhe von EUR 20 Millionen zu 2 % Zinsen. Die Tilgung soll durch jährliche Prozentannuitäten von je 5 % der Ursprungsschuld erfolgen, wobei dem Entwicklungsland zu Beginn 6 zahlungsfreie Jahre eingeräumt werden, d.h. die erste Annuität ist im 7. Jahr fällig (und vorher werden auch keine Zinsen bezahlt).

  1. Wie groß ist die Schuld zu Beginn des 7. Jahres?
  2. Erstellen Sie den Tilgungsplan für das 7. und 8. Jahr.
  3. Nach wie vielen (ganzen) Jahren ist die Schuld getilgt?

Kreditgebühren

Vielfach werden, um einen niedrigen Zinssatz p angeben zu können, neben den Formen der unkorrekten Tilgungsverrechnung dem Darlehensnehmer weitere Kreditgebühren belastet. Die Gebühren können einmalig am Anfang der Laufzeit bzw. als regelmäßige Gebühren, konstant oder abhängig von Annuität A_k, Tilgung T_k oder Restschuld RS_k berechnet werden.

Einmalige Gebühren

Einmalige Gebühren werden dem Darlehensnehmer entweder vom ausbezahlten Kreditbetrag abgezogen oder auf den Kreditbetrag aufgeschlagen und somit wie der Kredit getilgt und verzinst:

  • Wenn die Gebühren von der Schuldsumme abgezogen werden, so erhält der Schuldner den Betrag


      \tilde S  = S - G
ausbezahlt, obwohl er den Betrag S verzinsen und tilgen muss. Alle Formeln werden weiter mit S errechnet.

  • Wenn die Gebühren auf den Kredit aufgeschlagen werden, so erhält der Schuldner zwar den Betrag S ausbezahlt, er muss aber


      \tilde S = S + G
verzinsen und tilgen.

Laufende Kreditgebühren

Laufende Gebühren werden entweder in konstanter Höhe berechnet, z.B. als Kontoführungsgebühren, oder von einer oder mehreren der in den Formeln der Tilgungsrechnung verwendeten Größen. In allgemeiner Form ergibt sich


G_k =  c + \frac{\alpha}{100}\cdot T_k
         + \frac{\beta}{100}\cdot RS_k
         + \frac{\gamma}{100}\cdot A_k
         + \frac{\delta}{100}\cdot Z_k ,

wobei \alpha, \beta, \gamma und \delta die jeweiligen Gebührenprozentsätze von Tilgung, Restschuld, Annuität und Zins sind. Man unterscheidet folgende Fälle:

  • Die Berechnung einer Gebühr von der Restschuld oder vom Zins ist in den Formeln besonders einfach unterzubringen, da auch der Zins Z_k aus der Restschuld RS_k berechnet wird. Man setzt


Z_k + G_k^{\beta,\delta}
      = RS_k\cdot i + \frac{\beta}{100} \cdot RS_k 
                    + \frac{\delta}{100} \cdot Z_k
      = RS_k\cdot
        \left(\frac{p + \beta}{100} +
        \frac{i\cdot \delta}{100} \right)

Man kann also völlig auf die Berücksichtigung dieser beiden Gebühren verzichten, wenn man mit dem Ersatzprozentzinssatz 
\tilde p = p + \beta + i\cdot\delta
sämtliche Formeln berechnet.

  • Bei Berechnung der Gebühren aus der Tilgung oder Annuität ist der einfachste Fall, wenn die Gebühren jeweils auf die Annuität A_k aufgeschlagen werden. Man erhält dann


\tilde A_k = \frac{\alpha}{100}\cdot T_k
			 + \left( 1 + \frac{\gamma}{100} \right) \cdot A_k .

Die Gebühren haben jedoch keinerlei Auswirkungen auf den Tilgungsplan, wo weiterhin mit A_k gerechnet wird.

  • Wenn die Annuitäten unverändert bleiben sollen, so ergibt sich eine Verringerung der Tilgungsbeträge und somit eine Streckung der Laufzeit. Diese Formeln sind jedoch mühsam zu berechnen, weshalb auf die im letzten Abschnitt dieses Kapitels angegebene Literatur verwiesen wird.

Zinsbindung und Disagio-Splitting

Das Disagio stellt eine spezielle Vergütung -- und in diesem Sinne Gebühr -- dar, die der Schuldner dafür bezahlt, dass ihm ein niedriger Zinssatz eingeräumt wird. Das Disagio ist damit ein Zinsersatz, der als einmalige Gebühr von der Schuldsumme abgezogen wird.

Diese spezielle Gebühr wirft keine Probleme auf, wenn die Zinsen des Kredites oder Darlehens während der ganzen Laufzeit fest sind. Oft wird der Zinssatz jedoch nur für n_1 Jahre bzw. Zinsperioden fest vereinbart. Die Bestandteile A_k, T_k und damit RS_k können damit nur für k=1,\ldots,n_1 ausgerechnet werden. Man behilft sich, indem man den Zinssatz für die ganze Laufzeit als fest unterstellt, und mit diesem Zinssatz die Restschuld RS_{n_1+1} berechnet. Sie ergibt sich bekanntlich aus Formel (\ref{rest0}) als 
RS_{n_1+1} =  S - \sum_{k=1}^{n_1} T_k .

Je nach Methode der Tilgungsverrechnung erhält man unterschiedliche Restschulden. Wenn am Anfang der Laufzeit eine einmalige Gebühr berechnet wurde, so stellt sich die Frage, welcher Anteil dieser Gebühr bereits verbraucht wurde, und damit welcher Anteil der Gebühr noch in der Restschuld enthalten ist. Die Antwort auf diese Frage kann in unserem Zusammenhang nicht gegeben werden. Es wird auf die angegebene Literatur verwiesen.

Berechnung des Effektivzinses nach der Preisangabenverordnung (veraltet)

Die Vielfalt der Gestaltungsmöglichkeiten von Krediten macht das Angebot für den Verbraucher, also den privaten Kreditnehmer, praktisch undurchschaubar. Zwar einigte sich die Kreditwirtschaft im Bereich der Ratenkredite auf eine einheitliche Formel zur näherungsweisen Berechnung des internen Zinsfußes des Ratenkredits (Uniform-Methode), doch für andere Kredite war lange keine einheitliche Berechnungsgrundlage vorgeschrieben. Eine erste Verordnung wurde im Jahr 1983 als verfassungswidrig erklärt. Seit 1985 existiert die neue Preisangabenverordnung (PAngV), die in § 4.2 die Methode zur Berechnung der Effektivzinsen vorschreibt.

Die exakte Methode zur Ermittlung des Effektivzinses nach der PAngV ist die sog. 360-Tage-Methode. Sie unterstellt für den Kredit eine jährliche Zinsberechnung, wobei die Zinsen erstmals nach genau einem Jahr der Kreditlaufzeit zu bezahlen sind (wie dies nach § 608 BGB vorgesehen ist). Die Fälligkeit der Zinsen und damit die Zinsperiode richtet sich also nicht nach dem Kalenderjahr.

Die Berechnung nach der Preisangabenverordnung kann aufgeteilt werden in die Berechnung von Konsumentenkrediten und allen anderen Krediten.

Konsumentenkredite

Die Raten der Konsumentenkredite werden aus dem Kreditbetrag und einem monatlichen Zinssatz errechnet. Die Multiplikation des Zinssatzes mit 12 führt dabei aus den in Kapitel Zinsrechnung angegebenen Gründen nicht zum richtigen Effektivzins.

Näherung nach der Uniform-Methode

Lange Zeit wurde statt der relativ komplizierten Errechnung eines finanzmathematisch korrekten Effektivzinses die sehr einfache Uniform-Methode verwendet.

Wenn wir mit m die Laufzeit des Kredits in Monaten, mit \alpha einen Gebührensatz in % der Kreditsumme und mit \tilde p den Monatsprozentzinssatz bezeichnen, so errechnet man nach der Uniform- Methode den Jahres-Effektivzinssatz p_{\rm eff}: 
p_{\rm eff} \approx 24\cdot \frac{\tilde p\cdot m + \alpha}{m + 1}

Die Uniform-Methode liefert normalerweise einen Zinssatz, der über dem korrekten internen Zinssatz liegt, wenn dieser mit unterjährig einfacher und jährlich zinseszinslicher Verzinsung errechnet wird.

PAngV-Methode bei ganzzahliger Laufzeit

Die exakte Berechnung nach der PAngV verwendet keine monatlichen, sondern jährliche Zinszeiträume, wobei der erste Zinszeitraum bei Auszahlung des Kredits beginnt. Alle unterjährig gezahlten Raten werden also sofort als Tilgung verrechnet. Bei monatlicher Ratenzahlung, die hier als Regelfall unterstellt wird, wird die erste Rate 30 Tage nach der Auszahlung des Kredits, also nachschüssig, fällig.

Die unterjährigen Ratenzahlungen werden einfach verzinst. Es liegt also, um mit den Fallunterscheidungen aus dem Abschnitt der unterjährigen Annuitätentilgung zu sprechen, Fall a) mit nachschüssigen Zahlungen vor.

Wir behandeln zunächst den Fall, dass die Laufzeit des Kredits in Monaten ein Vielfaches von 12 ist (z.B. 12, 24, 36, 48, 60 oder 72 Monate), und damit die Laufzeit n in Jahren ganzzahlig ist. Der Effektivzins des Ratenkredits nach PAngV ist dann derjenige Zinssatz i_{\rm eff}, der die Gleichung 
S  = r\cdot \left[12 + 5,5\cdot i_{\rm eff}\right]
     \cdot\frac{(i_{\rm eff} + 1)^n - 1}{i_{\rm eff}}
     \cdot\frac{1}{(i_{\rm eff} + 1)^n}
erfüllt.

Für eine Laufzeit von 12 Monaten kann diese Beziehung nach i_{\rm eff} aufgelöst werden, wenn S dem ausgezahlten (und verzinsten) Betrag entspricht. Ohne eine Kreditgebühr erhält man 
i_{\rm eff} = \frac{24\cdot \tilde \imath}
              {13 - 11 \cdot \tilde \imath}
und \tilde \imath wird dabei errechnet als 
\tilde \imath = \frac{12 \tilde p}{100}
mit \tilde p als Monatsprozentzinssatz des Ratenkredits.

Die Lösung der Gleichung für Laufzeiten über einem Jahr kann nur durch ein iteratives Verfahren bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird q für i+1 in die Beziehung eingesetzt. Man löst die Gleichung nach 0 auf, und bestimmt die Nullstelle z.B. mit dem Newton-Verfahren. Da für die Newton-Methode die Ableitung nach q bestimmt werden muss, bietet sich die Auflösung und Vereinfachung der Gleichung an. Es ergibt sich:


g(q)  = q^{n+1} \cdot \left\{S - 5,5r\right\}
        - q^n     \cdot \left\{S + 6,5r\right\}
        + 5,5 q\cdot r + 6,5 r


g'(q) = (n+1)\cdot q^n    \cdot \left\{S - 5,5r\right\}
        -     n\cdot q^{n-1}\cdot \left\{S + 6,5r\right\}
        + 5,5 r

Als Startwert des Verfahrens kann z.B. das Ergebnis der Uniform-Methode verwendet werden.


Beispiel

Ein Kleinkredit in Höhe von EUR 12.000 soll als Ratenkredit mit

a) 12 Monaten

b) 24 Monaten

in monatlichen Raten getilgt werden. Wie hoch sind die Raten, wenn keine Kreditgebühr berechnet wird, und der Monatszinssatz \tilde p = 0,50% beträgt? Wie lautet in beiden Fällen der Zinssatz nach der Uniform-Methode bzw. nach der PAngV exakt?


Lösung:

  1. Die Höhe der Raten ist r = \frac{12.000}{12} + \frac{12.000\cdot 12\cdot 0,50}{1.200} = 1.060
  2. Nach der Uniform-Methode ergibt sich ein Zinssatz von p_{\rm eff} \approx 24\cdot \frac{0,50\cdot 12}{13} = 11,077 [%]
  3. Als exakter Zinssatz ergibt sich p_{\rm eff} = \frac{24\cdot 0,06}{13 - 11\cdot 0,06}\cdot 100= 11,669 [%]
  4. Die Höhe der Raten ist nun r = \frac{12.000}{24} + \frac{12.000\cdot 0,06}{12} = 560
  • Nach der Uniform-Methode ergibt sich nun p_{\rm eff} \approx 24\cdot \frac{0,50\cdot 24}{25} = 11,52 [%]
  • Mit der Newton-Methode errechnet man
  1. g(q)  = q^3\cdot 8.920 - q^2\cdot 15.640 + q\cdot 3.080 + 3.640
  2. g'(q)  = q^2\cdot 26.760 - q\cdot 31.280 + 3.080
  3. q_0 = 1,1152\
  4. q_1  = 1,1152 - \frac{-4,6780}{1.477,184} =  1,118367
  5. q_2  = 1,118367 -\frac{0,144043}{1.567,402} =  1,118275
  6. g(1,118275) = 0,000117\

Der Effektivzinssatz ist also ungefähr 11,83%.

PAngV-Methode bei nicht-ganzzahliger Laufzeit

Wenn die Laufzeit des Kredits nicht ganze Jahre sind, wird im Rest der Laufzeit ebenfalls einfach verzinst. Bei einer Laufzeit von \tilde m Monaten im letzten Laufzeitjahr, also einer Gesamtlaufzeit von n\cdot 12 + \tilde m Monaten des Ratenkredits, wird der Rest von \tilde m Monaten einfach verzinst. Zunächst berechnet man eine theoretische Schlußrate zum Ende der Laufzeit: 
r'' = r\cdot\tilde m\cdot
	  \left[1 +
			\frac{\tilde m-1}{2}
			   \cdot\frac{i_{\rm eff}}{12}\right]

Diese Schlußrate wird zunächst mit einfacher Verzinsung auf das Ende der ganzzahligen Laufzeit und dann zinseszinslich auf den Zeitpunkt der Auszahlung bezogen. Zusammen mit der Formel für ganzjährige Laufzeit gilt:


S  = r\cdot
	   \left\{
	   \left[12 + 5,5\cdot i_{\rm eff}\right]
			\cdot\frac{(i_{\rm eff} + 1)^n - 1}{i_{\rm eff}}\right.


+
	   \left.
	   \tilde m\cdot \left[1 +
	   \frac{(\tilde m-1)\cdot i_{\rm eff}}{24}\right]
	   \cdot\frac{1}{1 + \frac{\tilde m}{12}\cdot i_{\rm eff}}
	   \right\}
	   \cdot\frac{1}{(i_{\rm eff} + 1)^n}

Wegen der Komplexität der Formel wird man üblicherweise von der Bildung der Ableitung absehen und das Newton-Verfahren ggf. mit dem Differenzenquotienten oder das Verfahren der Regula Falsi durchführen. Auch hier kann das Ergebnis der Uniform-Methode als Startwert dienen.

Übung 28

Zur Tilgung eines Konsumentenkredits von EUR 5.000 hat jemand 36 Monate lang monatlich-nachschüssig eine Rate von EUR 160,- zu zahlen. Weisen Sie nach, dass der zugrundeliegende (effektive) Jahreszins etwa 9,9 % beträgt.

Kredite und Darlehen

ganzzahlige Laufzeit

Bei einer in Jahren ganzzahligen Laufzeit der Schuld ergibt sich eine etwas allgemeinere Formel als bei Ratenkrediten, da die unterjährigen Annuitäten a nun nicht mehr unbedingt monatlich bezahlt werden. Vielmehr werden m nachschüssige Annuitäten pro Laufzeitjahr angesetzt, die unterjährig einfach verzinst werden. Im Fall monatlicher Annuitäten ergibt sich damit die Formel für Ratenkredite. Bei ganzjähriger Laufzeit und m Annuitäten pro Jahr ergibt sich: 
S  = a\cdot \left[m + \frac{(m-1)\cdot i_{\rm eff}}{2}\right]
     \cdot\frac{(i_{\rm eff} + 1)^n - 1}{i_{\rm eff}}
     \cdot\frac{1}{(i_{\rm eff} + 1)^n}

Man geht also wieder davon aus, dass die erste Tilgungsperiode bei Kreditauszahlung beginnt, und die Annuität a nachschüssig geleistet wird. Für eine Laufzeit von einem Jahr (m Annuitäten) läßt sich die Formel nach dem Zinssatz auflösen, wenn keine einmaligen oder laufenden Kreditgebühren verrechnet werden, d.h. die Annuität a alleine aus den Zinsen berechnet wird und z.B. kein Disagio anfällt. Man erhält 
i_{\rm eff} = \frac{2\cdot m\cdot i}{(m+1)-(m-1)\cdot i}
mit m als Anzahl der Annuitäten.

Wenn die Laufzeit mehr als ein Jahr beträgt, so kann die obige Formel wieder nicht nach i bzw. q aufgelöst werden. Man stellt die Formel um, um die Berechnung und Ableitung zu vereinfachen. Es ergibt sich: 
g(q) =   q^{n+1} \left\{S - \frac{a(m-1)}{2} \right\}
      -  q^n \left\{S + \frac{a(m+1)}{2}\right\} 
      +  q \left\{\frac{a(m-1)}{2}\right\}
      +  \frac{a(m+1)}{2}

Die Nullstelle ermittelt man mit einem iterativen Verfahren. Als Startwert bieten sich der Nominalzins (also der Zins, mit dem die Annuität ermittelt wurde), oder z.B. q = 1,1 an. Selbst mit diesen recht groben Startwerten ist die Lösung oft innerhalb weniger Schritte ermittelt.

nicht-ganzzahlige Laufzeit

Häufig besteht bei Krediten, deren Annuität nicht durch Angabe einer ganzzahligen Laufzeit errechnet wurde, am Anfang des letzten Laufzeitjahres noch eine Restschuld. Die zur Tilgung dieser Restschuld erforderlichen \tilde m Raten werden mit einfacher Verzinsung auf das Ende der ganzzahligen Laufzeit bezogen und von dort zinseszinslich über n Jahre auf den Beginn der Darlehenslaufzeit abgezinst. m ist die Anzahl der Annuitäten in jedem der n ganzen Jahre. Man erhält die recht aufwendige Beziehung 
S  = a\cdot
       \left\{
       \left[m + \frac{(m-1)\cdot i_{\rm eff}}{2}\right]
            \cdot\frac{(i_{\rm eff} + 1)^n - 1}{i_{\rm eff}}\right. 
   +
       
       \left.
       \tilde m\cdot \left[1 + 
                       \frac{\tilde m-1}{2}\cdot 
                       \frac{i_{\rm eff}}{m}\right]
       \cdot\frac{1}{1 + \frac{\tilde m}{m}\cdot i_{\rm eff}}
       \right\}
       \cdot\frac{1}{(i_{\rm eff} + 1)^n}

Die Lösung erfolgt wieder iterativ, ggf. mit Regula Falsi oder Newton-Verfahren (mit dem Differenzenquotienten anstelle der Ableitung). Startwerte sind geeignet zu wählen, z.B. der Nominalzins des Darlehens.

Weiterführende Hinweise und Literaturangaben

Bezug zur Rentenrechnung

Zu den Begriffen der Renten- und Tilgungsrechnung: Es besteht eine weitgehende Äquivalenz der Rechnungen, nicht aber der Problemstellungen. In manchen Fällen ist es aber durchaus möglich, dass ein vermeintliches Problem aus dem einen Gebiet im anderen eine bekannte Lösung besitzt. Deshalb wollen wir nachfolgend noch auf einige Äquivalenzen hinweisen:

nachschüssige (konstante) jährlich nachschüssige
jährliche Renten Annuitätentilgung
R_0\ S\
r\ A\
r - i\cdot R_0 T_1 = A - i\cdot S
-\ln\left[1 - \frac{i\cdot R_0}{r}\right] \ln A - \ln T_1\

Der letzte Zusammenhang kann über die beiden Formeln für die Laufzeit von Renten bzw. Tilgungsplänen hergeleitet werden.

Übung 39

Beweisen Sie die folgenden Formeln der jährlichen Annuitätentilgung mit Hilfe der Formeln der Tilgungsrechnung:

  1. S_k =  S\cdot q^k - A\cdot s_k
  2.  T_k =  i\cdot S \cdot\frac{q^{k-1}}{q^n - 1}
  3.  Z_k =  i\cdot S \cdot\frac{q^n - q^{k-1}}{q^n - 1}

Literatur

Weitere Fälle und zahlreiche Übungsaufgaben zur Tilgungsrechnung enthalten einige Lehrbücher der Finanzmathematik wie Bosch [1995], Caprano/Gierl [1992], Hass [1995], Kobelt/Schulte [1995], Kruschwitz [1995a] und Ziethen [1992].

Eine Untersuchung der Formeln zur Effektivverzinsung für verschiedene Kreditformen enthält Wagner [1988]. Die Arbeit von Steppeler/Astfalk [1986] beschäftigt sich in breitem Rahmen mit juristischen Aspekten der Preisangabenverordnung und den in ihr vorgeschriebenen Berechnungsformeln. Das Buch enthält einen Abdruck der einschlägigen Vorschriften und Hinweise zum Vorgehen bei vorzeitiger Tilgung etc. Loomann [1988] beschäftigt sich in vielen Beispielen mit dem richtigen Rechnen bei Finanzgeschäften.